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立体図形の性質と解法テクニック

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立体図形の基礎 直方体と立方体 円柱と円錐 角柱と角錐 球 複合立体 断面と切断 展開図 練習問題

立体図形の基礎

立体図形は中学受験算数において非常に重要な単元であり、難関校を中心に頻出のテーマです。立体図形問題では、空間把握能力や論理的思考力が問われるだけでなく、計算力も必要とされます。

中学受験で出題される立体図形の主な種類は以下の通りです：

立体図形を理解するうえで重要な概念は以下の3つです：

  1. 体積：立体の内部の大きさを表す
  2. 表面積：立体の表面全体の面積
  3. 展開図：立体を平面に広げた図形

学習のポイント

立体図形の問題を解くときは、まず図をしっかり描いて、与えられた条件を整理することが大切です。また、見取り図だけでなく、断面図や展開図など、様々な視点から捉える練習も重要です。

直方体と立方体

直方体と立方体は、中学受験の立体図形問題の基本となる図形です。

直方体の性質

直方体は、6つの長方形で囲まれた立体で、向かい合う面は合同です。

直方体の公式

\text{体積} = \text{縦} \times \text{横} \times \text{高さ}
\text{表面積} = 2(\text{縦} \times \text{横} + \text{横} \times \text{高さ} + \text{縦} \times \text{高さ})

※縦=$a$, 横=$b$, 高さ=$c$ とすると：表面積 = $2(ab + bc + ca)$

立方体の性質

立方体は、6つの正方形で囲まれた直方体の特殊な形で、すべての辺の長さが等しくなっています。

立方体の公式

一辺の長さを $a$ とすると：
\text{体積} = a^3
\text{表面積} = 6a^2
\text{対角線の長さ} = a\sqrt{3}

例題：立方体の体積と表面積

一辺の長さが4cmの立方体があります。この立方体の体積と表面積を求めなさい。

解答

体積 = 4³ = 64 cm³

表面積 = 6 × 4² = 6 × 16 = 96 cm²

入試でよく出る問題パターン

立方体や直方体の問題では、以下のようなパターンがよく出題されます：

  • 対角線の長さに関する問題
  • 切断して得られる断面に関する問題
  • 内部に別の立体を含む問題
  • 水を入れる量や満たす時間に関する問題

円柱と円錐

円柱と円錐は、底面が円形の立体図形です。これらの図形は、中学受験ではしばしば体積や表面積を計算する問題として出題されます。

円柱の性質

円柱は、2つの合同な円形の底面とそれらを結ぶ曲面からなる立体です。

円柱の公式

底面の半径を $r$、高さを $h$ とすると：
\text{体積} = \pi r^2 h
\text{表面積} = 2\pi r^2 + 2\pi r h \ \text{(底面積2つ + 側面積)}
\text{側面積} = 2\pi r h

円錐の性質

円錐は、1つの円形の底面と頂点、そしてそれらを結ぶ曲面からなる立体です。

円錐の公式

底面の半径を $r$、高さを $h$ とすると：
\text{体積} = \frac{1}{3}\pi r^2 h
\text{表面積} = \pi r^2 + \pi r s \ \text{(底面積 + 側面積)}
\text{側面積} = \pi r s
\text{母線の長さ} \ s = \sqrt{r^2 + h^2}

例題：円柱と円錐の体積比較

底面の半径が3cm、高さが4cmの円柱と、同じ底面と高さを持つ円錐があります。この円柱と円錐の体積の比を求めなさい。

解答

円柱の体積 = πr²h = π × 3² × 4 = 36π cm³

円錐の体積 = (1/3)πr²h = (1/3) × π × 3² × 4 = 12π cm³

体積の比 = 36π : 12π = 3 : 1

したがって、円柱と円錐の体積の比は3:1となります。

覚えておきたいポイント

円錐の体積は、同じ底面と高さを持つ円柱の体積の1/3であることを覚えておくと便利です。同様に、角錐の体積も、同じ底面と高さを持つ角柱の体積の1/3となります。

角柱と角錐

角柱と角錐は、底面が多角形の立体図形です。これらは円柱・円錐を一般化した図形と考えることができます。

角柱の公式

底面積を $S$、高さを $h$ とすると：
\text{体積} = S \times h
\text{表面積} = 2S + (\text{底面の周囲長}) \times h

角錐の性質

角錐は、1つの多角形の底面と1つの頂点、そしてそれらを結ぶ三角形の側面からなる立体です。

角錐の公式

底面積を $S$、高さを $h$ とすると：
\text{体積} = \frac{1}{3} \times S \times h
\text{表面積} = S + (\text{各側面の面積の和})

例題：三角柱の体積と表面積

底面が一辺5cmの正三角形で、高さが8cmの三角柱があります。この三角柱の体積と表面積を求めなさい。

解答

正三角形の面積 = (√3/4) × 5² = (25√3)/4 cm²

三角柱の体積 = 底面積 × 高さ = (25√3)/4 × 8 = 50√3 cm³

底面の周囲長 = 5 × 3 = 15 cm

表面積 = 2 × 底面積 + 周囲長 × 高さ = 2 × (25√3)/4 + 15 × 8 = (25√3)/2 + 120 = (25√3 + 240)/2 cm²

球

球は、1つの点（中心）から等距離にある点の集合からなる立体です。入試では球の体積や表面積の計算、他の立体との複合問題としてよく出題されます。

球の公式

半径を $r$ とすると：
\text{体積} = \frac{4}{3}\pi r^3
\text{表面積} = 4\pi r^2

例題：球の体積と表面積

半径が6cmの球があります。この球の体積と表面積を求めなさい。

解答

体積 = $\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi \times 6^3 = \frac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi$ cm³

表面積 = $4\pi r^2 = 4\pi \times 6^2 = 4\pi \times 36 = 144\pi$ cm²

球に関する入試問題のポイント

球の問題では、以下のような内容がよく出題されます：

  • 容器に入れた球の体積や表面積の計算
  • 球の一部（例：半球）の体積や表面積
  • 球と他の立体（円柱など）の組み合わせ

複合立体

複合立体とは、基本的な立体が組み合わさってできる立体のことです。中学受験では、これらの立体の体積や表面積を求める問題が頻出します。

複合立体の解法のポイント

  1. 分割法：複合立体を基本的な立体に分割して、それぞれの体積や表面積を求めて合計する
  2. 差分法：大きな立体から小さな立体を取り除いて、残りの部分の体積や表面積を求める

例題：複合立体の体積

底面が一辺10cmの正方形で、高さが12cmの直方体があります。この直方体の上面の中心から、底面に垂直に円柱を取り除きました。円柱の半径は3cmです。残った立体の体積を求めなさい。

解答

直方体の体積 = 10 × 10 × 12 = 1200 cm³

円柱の体積 = πr²h = π × 3² × 12 = 108π cm³

残った立体の体積 = 1200 - 108π ≈ 1200 - 339.3 ≈ 860.7 cm³

複合立体問題のコツ

複合立体の問題では、図をしっかり描いて、どのように分解するか、または何を差し引くかを明確にすることが重要です。また、表面積を求める場合は、どの面が残り、どの面が消えるかを慎重に検討する必要があります。

断面と切断

立体図形を平面で切断したときにできる断面の形状や面積を求める問題も、中学受験では頻出のテーマです。

主な切断パターンと断面の形

例題：立方体の切断

一辺が8cmの立方体があります。この立方体の対角線を通る平面で切ったときにできる断面の面積を求めなさい。

解答

立方体の対角線の長さ = 8√3 cm

正六角形の面積は、正三角形6つ分の面積として計算できます。

一辺が8cmの立方体を対角線で切ると、正六角形の面積は 8² × √2 = 64√2 cm²

断面問題のポイント

断面問題では、切断面がどのような形になるかをイメージすることが重要です。また、切断面と立体の辺や面との交点を見つけることで、断面の形を特定できることが多いです。

展開図

展開図は、立体を切り開いて平面に広げた図形です。中学受験では、立体の展開図を描く問題や、展開図から元の立体を判断する問題がよく出題されます。

主な立体の展開図のパターン

展開図問題のコツ

展開図の問題では、立体を頭の中でイメージして、各面がどのように接続しているかを理解することが重要です。特に、頂点や辺がどのように対応するかを注意深く考える必要があります。

また、展開図を折りたたんだときに、面と面が正しく接合されるかを確認することも大切です。

練習問題

以下の問題を解いて、立体図形に関する理解を深めましょう。

基本問題

問題1：一辺が5cmの立方体があります。この立方体の表面積と体積を求めなさい。

解答：表面積 = 6 × 5² = 150 cm², 体積 = 5³ = 125 cm³

問題2：底面の半径が4cm、高さが6cmの円柱があります。この円柱の体積と側面積を求めなさい。

解答：体積 = πr²h = π × 4² × 6 = 96π cm³, 側面積 = 2πrh = 2π × 4 × 6 = 48π cm²

応用問題

問題3：底面が一辺8cmの正方形である直方体の中に、底面に接する球が入っています。球の直径は底面の対角線の長さと同じです。球の体積を求めなさい。

解答：底面の対角線 = 8√2 cm, 球の直径 = 8√2 cm, 球の半径 = 4√2 cm
球の体積 = (4/3)πr³ = (4/3)π × (4√2)³ = (4/3)π × 64 × 2√2 = (512√2)π/3 cm³

問題4：半径10cmの球から、中心を通る平面で球を切断し、小さい方の部分を取り除きました。切断面から球の中心までの距離が6cmのとき、残った部分の体積を求めなさい。

解答：球の全体積 = (4/3)π × 10³ = (4000π/3) cm³
取り除いた部分の高さ = 10 - 6 = 4 cm
取り除いた部分の体積 = (1/3)πh²(3r-h) = (1/3)π × 4² × (3×10-4) = (1/3)π × 16 × 26 = (416π/3) cm³
残った部分の体積 = (4000π/3) - (416π/3) = (3584π/3) cm³

立体図形を完全マスター

中学受験算数の立体図形の問題を確実に解けるようになるには、基本的な公式を理解し、様々なパターンの問題を解く練習が欠かせません。知行教育では、入試レベルの問題に対応できる力を養うための詳細な解説とステップアップ式の練習問題を提供しています。

他の算数トピックを学ぶ

立体図形の視覚的デモ

以下のインタラクティブデモを使って、立体図形の性質と問題の解法を視覚的に理解しましょう。ボタンをクリックして異なる立体や問題例に切り替えることができます。

立方体の性質

立方体は6つの正方形で囲まれた立体図形です。一辺の長さを a とすると：

  • 体積 = a³
  • 表面積 = 6a²
  • 対角線の長さ = a√3

例題：立方体の切断

一辺が6cmの立方体の対角線を通る平面で切断します。できる断面の形と面積を求めなさい。

解答

立方体の対角線を通る平面で切ると、断面は正六角形になります。

この正六角形の面積は = 6² × √2 = 36√2 ≈ 50.91 cm²

右のデモで「立体の切断」を選び、立方体の対角線による切断面をご確認ください。

立体図形の問題解法 - インタラクティブデモ

以下の3Dデモを使って、立体図形の問題とその解法を視覚的に学ぶことができます。マウスでドラッグして図形を回転させることができます。

立方体の体積と表面積の関係

問題：一辺の長さが6cmの立方体があります。この立方体の対角線の長さと、ある頂点から最も遠い頂点までの距離を求めなさい。

解法:

立方体の対角線の長さは、三平方の定理を使って計算できます。

底面の対角線の長さは、$\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$ となります（aは一辺の長さ）。

この底面の対角線と高さaを使って、立方体の対角線の長さを計算すると：

$\sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

したがって、一辺の長さが6cmの立方体の対角線の長さは、$6\sqrt{3} \approx 10.4$ cmとなります。